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Gerade


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Erklärung

Formel Geradengleichung

Eine Gearde entsteht immer dann im Koordinatensystem, wenn man zwei Punkte miteinander verbindet. Die Dimension spielt dabei keine Rolle. Sowohl im 2D-Raum als auch im 3D-Raum, sowie in allen anderen Räumen besteht die Gerade immer aus folgenden zwei Komponenten. Zunächst gibt es einen Stützvektor (Dieser ist zugleich ein Ortsvektor). Den Stützvektor könnte man im Prinzip als Startpunkt der Geraden bezeichnen. Dann gibt es als zwiten Teil der Gleichung immer einen Richtungsvektor. Dieser gibt, logischerweise wie der Name schon sagt, die Richtung der Geraden an, indem man diesen mit dem Stützvektor verbindet. Um eine Gerade zu bilden, fängt man also an einem Punkt (Stützvektor) an und geht dann zu einem zweiten Punkt, wobei man dabei eine Richtung einschlägt. Diese Richtung verdeutlich der Richtungsvektor. Nun hat man noch das Problem, dass eine Gerade aber keinen Anfang und kein Ende hat. Nimmt man den Richtungsvektor einfach, hat unsere Gleichung aber einen Betrag und damit eine Länge (die Gleichung ist also eingentlich eine Strecke). Um dieses Problem zu beheben, fügt man vor dem Richtungsvektor noch einen Parameter ein. Damit ist die Länge der Strecke unbestimmt, es handelt sich jetzt also um eine waschechte Gerade.
Im 3D-Raum sieht eine Geradengleichung also folgendermaßen aus:

$$\vec x = \left(\begin{matrix}3\\4\\9\end{matrix}\right) + \lambda \left(\begin{matrix}-6\\3\\-1\end{matrix}\right)$$

Herleitung Parameterform

Zunächst hat man zwei Punkte (mit ihren Ortsvektoren).
Nun wählt man einen Punkt als Startpunkt aus. Das ist dann der Stützvektor der Geraden.
Man nimmt also die Strecke vom Koordinatenursprung bis zum Punkt A als Stützvektor (SV):$$\vec{SV} = \vec A - \vec O$$
Nun berechnet man die Differenz zwischen Punkt A, dem Startpunkt, und Punkt B, um den Richtungsvektor (RV) zu bekommen (wobei man natürlich A von B abzieht):$$\vec{RV} = \vec B - \vec A$$
Damit aus dieser Strecke eine Gerade wird, fügt man einen Parameter (in diesem Fall Lambda, einen griechischen Buchstaben, aber man kann auch alle anderen Buchstaben nehmen) vor dem Richtungsvektor ein:$$\vec x = \vec A + \lambda \,\vec{AB}$$
Erklärung Formel Geradengleichung
Warum eine Geradengleichung aussieht, wie sie aussieht.

Gerade - Punkt

Lagebeziehungen

enthalten
Der Punkt liegt auf der Geraden.
nicht enthalten
Der Punkt liegt nicht auf der Geraden

Berechnung

Eine Gerade und ein Punkt können lediglich zwei verschiedene Lagebeziehungen zueinander eingehen. Entweder der Punkt liegt auf der Geraden - oder eben nicht. Um die Beziehung zwischen der Geraden und einem Punkt muss man folgende Schritte durchführen. Gegeben sind eine Gerade (in Parameterform) und ein Punkt.

Schritt 1:

Zunächst setzt man den Punkt mit der Gerade gleich.

$$\begin{align}\vec P &= \vec x \\ \left(\begin{matrix}8\\5\\4\end{matrix}\right) &= \left(\begin{matrix}1\\5\\-4\end{matrix}\right)+r\left(\begin{matrix}7\\3\\-4\end{matrix}\right)\end{align}$$
Schritt 2:

Jetzt schreibt man für jede Dimension eine einzelne Gleichung heraus.

$$\begin{align}8&=1+7r_x\\5&=5+3r_y\\4&=-4-4r_z\end{align}$$
Schritt 3:

Nun muss man für jede Dimension den Parameter ausrechnen.

$$\begin{align}r_x &= 1 \\ r_y &= 0\\ r_z &= -2\end{align}$$
Schritt 4:

Als letztes muss man nun die einzelnen Parameter vergleichen. Sind sie gleich, liegt der Punkt auf der Geraden, sind sie unterschiedlich, liegt der Punkt neben der Geraden.

$$r_x \neq r_y \neq r_z$$

In diesem Fall liegt also der Punkt nicht auf der Geraden.

Gerade - Gerade

Zwei Geraden können mindestens 3 unterschiedliche Lagebeziehungen eingehen. Zunächst können zwei Geraden identisch sein. Dies ist der Fall, wenn sie genau übereinander liegen, also unendlich viele Schnittpunkte haben. Auf den ersten Blick kann man das jedoch nicht erkennen, denn identische Geraden können mit unterschiedlichen Zahlenwerten in den Vektoren erzeugt werden. Sind zwei Geraden echt parralel, so zeigen die beiden Richtungsvektoren auch die gleiche Richtung, wie bei identischen Geraden, jedoch haben die beiden Geraden dann keine Schnittpunkte. Sie laufen also immer nebeneinander her. Die dritte Möglichkeit für eine Lagebeziehung zwischen zwei Geraden nennt man schneidend. Dies erkennt man daran, dass die sich die Geraden in genau einem Punkt treffen. Die Richtungsvektoren dürfen also nicht parallel verlaufen. In dreidimensionalen oder höher dimensionalen Räumen kommt noch eine vierte Möglichkeit hinzu: windschief. Je nach Ansicht könnte man denken. dass sich windschiefe Geraden schneiden. Das ist jedoch nicht der Fall. 2 solche Geraden verlaufen lediglich aneinander vorbei. Es befindet sich also eine Lücke zwischen den beiden Geraden. Sie treffen sich nicht.

Lagebeziehungen

schneidend
Sich schneidende Geraden treffen sich in genau einem Punkt.
echt parallel
Echt Parallele Geraden liegen exakt nebeneinander. Sie werden sich niemals schneiden.
identisch
Identische Geraden liegen genau übereinander. Im Prinzip ist es also immer dieselbe Gerade. Da man Vektoren jedoch mit einem Faktor multiplizieren kann, ohne dass, sie ihre geometrische Gestalt ändern, können die Werte in den Gleichungen der Geraden völlig unterschiedlich sein.
windschief
Windschiefe Geraden sehen nur so aus, als ob sie sich schneiden. Sie laufen aber nur aneinander vorbei.
Diese Beziehung kann nur im 3D-Raum oder höheren Dimensionen auftauchen.

Berechnung

Gegeben haben wir die beiden Geraden x1 und x2 in Parameterform. Es sind zwei unterschiedliche Rechnungen nötig, um eine endgültige Aussage zur Lagebeziehung treffen zu können.

Schritt 1:

Zunächst setzt man die beiden Richtungsvektoren der Geraden gleich, um zu prüfen, ob sie dieselbe Richtung aufzeigen. Man prüft also, ob die Richtungsvektoren vielfache sind.

$$\begin{align}\vec {RV_1} &= \vec {RV_2} \\ \left(\begin{matrix}4\\0\\1\end{matrix}\right)&=\lambda\left(\begin{matrix}1\\2\\-4\end{matrix}\right)\end{align}$$
Schritt 2:

Man schaut sich also für jede Dimension (also x, y und z), die einzelne Gleichung an. Und dann rechnet man die Variable, hier λ, aus.

$$\begin{align}4&=1\lambda_x\\0&=2\lambda_y\\1&=-4\lambda_z\end{align}$$
Schritt 3:

Hat man alle Variablen λ ausgerechnet, muss man sie vergleichen. Haben sie alle den gleichen Wert, können die Geraden identisch oder parallel sein. Unterscheiden sich die Werte für λx, λy und λz, können die beiden Ebenen nur windschief oder schneidend zueinander liegen.
In diesem Beispiel hier sind die Werte alle unterschiedlich. Die beiden Geraden können also nur noch windschief oder schneidend liegen.

$$\begin{align}\lambda_x&=4\\\lambda_y&=0\\\lambda_z &= 2\end{align}$$
Schritt 4:

Um die Anzahl der Schnittpunkte herauszubekommen, muss man die beiden Geraden nun gleichsetzen und die Lösungsmenge bestimmen.

$$\begin{align}\vec x_1 &= \vec x_2\\\left(\begin{matrix}3\\2\\5\end{matrix}\right)+\lambda_1\left(\begin{matrix}4\\0\\1\end{matrix}\right) &= \left(\begin{matrix}6\\0\\4\end{matrix}\right)+\lambda_2\left(\begin{matrix}1\\2\\-4\end{matrix}\right)\end{align}$$
Schritt 5:

Zunächst kann man die beiden Stützvektoren miteinander verrechnen und die Variablen auf eine Seite ziehen.

$$\left(\begin{matrix}-3\\2\\1\end{matrix}\right)=\lambda_1\left(\begin{matrix}-4\\0\\-1\end{matrix}\right)+\lambda_2\left(\begin{matrix}1\\2\\-4\end{matrix}\right)$$
Schritt 6:

Nun kann man mit dem Additionsverfahren die Lösungen für λ1 und λ2 bestimmen. Dazu verwendet man die Gleichungen für zwei beliebige Dimensionen, hier für die erste und zweite Dimension.

$$\begin{align}-3&=-4\lambda_1+\lambda_2\\2&=2\lambda_2\end{align}$$
Schritt 7:

In diesem Fall kann man den Wert für λ2 direkt ausrechnen. Er ist 1. Damit kann man λ2 in der ersten Gleichung einsetzen und auch den Wert für λ1 errechnen. Dieser ist 0,5.

$$\begin{align}\lambda_2&=1\\-3&=-4\lambda_1+1\\\lambda_1&=1\end{align}$$
Schritt 8:

Nun kann man endgültig entscheiden, ob die Geraden windschief oder schneiden zueinander liegen, indem man λ1 und λ2 in die dritte Dimensionsgleichung einsetzt. Kommt hier eine falsche Aussage heraus, sind die Geraden windschief, andernfalls liegen sie schneiden. Hier liegen die Geraden windschief.

$$\begin{align}1 &= -1\lambda_1-4\lambda_2 \\ 1 &= -1\cdot0,5-4\cdot1 \\ 1 &= -4,5\end{align}$$

Da die Geraden windschief liegen, kann man keinen Schnittpunkt berechnen.

Gerade - Ebene

Eine Gerade kann eine Ebene im dreidimensionalen Raum schneiden oder parallel bzw. in dieser Ebene enthalten sein.

Lagebeziehungen

Echt Parallel
Die Gerade liegt unter der Ebene (kann auch darüber liegen). Es gibt also keine Schnittpunkte.
schneidend
Die Gerade durchdringt die Ebene in genau einem Punkt.
enthalten
Die Gerade liegt genau in der Ebene. Theoretisch würde man sie nicht sehen. Die Gerade und Ebene haben unendlich viele Schnittpunkte und ihre Normalenvektoren sind identisch.

Geradenschar

Eine Geradenschar ist eine Menge von Geraden, deren Gleichungen identisch sind und alle einen Parameter enthalten. So können verschiedene Graphen entstehen, die


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Kategorie

Mathe

Titel

Gerade

Themen

Parameterform, Gerade - Punkt, Gerade - Gerade, Gerade - Ebene, Geradenschar, Spurpunkte

Seiten

2

Formate

PDF, PAGES, DOCX, PNG

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