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Kreisgleichungen


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Erklärung

Einheitskreis

Im folgendem geht es um Kreise im Koordinatensystem. Das einfachste Beispiel hiefür ist der Einheitskreis. Dieser sitzt auf dem Koordinatenursprung P(0|0) und hat den Radius von einer Längeneinheit. Alle anderen Kreise und auch Ellipsen beruhen auf dem Einheitskreis. Dieser wird jeweils nach oben oder unten bzw. rechts oder links verschoben und in verschiedene Richtungen gestreckt sowie sein Radius geändert.

4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 -1 X Y
Einheitskreis: $$x^2+y^2=1$$
$$(x-1)^2+(y+2)^2=1$$
$$(x+0,5)^2+(y+1,5)^2=1$$
$$(x-3,5)^2+(y-1)^2=4$$
Einheitskreis
Der Einheitskreis ist der einfachste Kreis im Koordinatensystem. Der Radius beträgt 1 Längeneinheit und der Mittelpunkt liegt im Koordinatenursprung.

Kreisgleichungen

Die allgemeine Gleichung für einen Kreis im Koordinatensystem setzt sich aus einem Grundgerüst zusasmmen. Dieses besteht aus dem Mittelpunkt des Kreises, dem Radius des Kreises und einem beliebigen Punkt auf der Kreisbahn. Die Grundgleichung lautet wie folgt:

$$(x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2$$

Auf der rechten Seite des Terms steht der Radius r zum Quadrat. Auf der linken Seite findet man die Werte m1 und m2. Diese beiden bilden die Koordinaten des Mittelpunktes von Kreis k. Liegt die Kreisgleichung direkt in Koordinatenform vor, kann man sofort den Mittelpunkt und den Radius ablesen.
Beispiele für Kreisgleichungen mit dem dazugehörigen Mittelpunkt und Radius sind also:

$$k_1: \quad x^2+y^2=36 \quad \\ \mathrm{M_{k1}}(0|0) \quad \\ r_{k1}=6\mathrm{LE}$$
$$k_2:\quad (x-5)^2+(y-7)^2=9 \quad \\ M_{k2}(5|7) \quad \\ r_{k2}=3\mathrm{LE}$$
$$k_3: \quad (x-12)^2+(y+3,5)^2=45 \quad \\ \mathrm{M_{k3}}(12|-3,5) \quad \\ r_{k3}=\sqrt{45}\mathrm{LE}$$

Kreis k1 stellt eines der simpelsten Beispiele dar, ein Kreis im Koordinatenursprung, Mittelpunkt des Kreises M(0|0), mit dem Radius r=6.
Manchmal kommt es auch vor, dass die Kreisgleichung nicht direkt in der Koordinatenform vorliegt. Das könnte zum Beispiel so aussehen:

$$y^2+8x+x^2-24y+34=0$$

Diese Gleichung unterscheidet sich auf den ersten Blick nicht wirklich von einer Parabelgleichung, mit der Außnahme, dass man hier y2 statt y findet. Damit man aus dieser Gleichung den Mittelpunkt und den Radius ablesen kann, muss man sie zunächst umformen. Das geschieht mit Hilfe der quadratischen Ergänzung. Mit der quadratischen Ergänzung kann man innerhalb der Gleichung die binomischen Formeln erzeugen, welche man zum Ablesen der Koordinaten braucht. Zunächst nimmt man die Gleichung:

$$y^2+8x+x^2-24y+34=0$$

und nimmt alle Teile des Terms heraus, die ein y enthalten:

$$y^2-24y$$

Dieser Ausdruck muss nun zurück in eine binomische Formel gewandelt werden. Aus y2 kann man das y ablesen und aus -24y kann man die -12 herauslesen. Diese -24y entspricht dem mittleren Glied der aufgelösten binomischen Formel:

$$y^2-24y=(y-12)^2$$

Damit die Rückrechnung funktioniert, also das Auflösen der binomischen Formel, muss der zweite Wert aus der binomischen Formel noch quadriert und auf der anderen Seite eingefügt werden:

$$y^2-24y+144=(y-12)^2$$

Nun wird dieser letzte Wert auf die andere Seite zur binomischen Formel gerechnet und man kann in der Kreisgleichung \(y^2-24y\) mit \((y-12)^2-144.\) ersetzen. Das gleiche muss man nun für alle x machen. Zuletzt sortiert und fässt man die Kreisgleichung noch zusammen.


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Lernzettel-Infos

Kategorie

Mathe

Titel

Kreisgleichungen

Themen

Koordinatenform, Lagebeziehung Kreis - Punkt, Lagebeziehung Kreis - Gerade, Kreis aus 3 Punkten berechnen

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3

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PDF, PAGES, DOCX, PNG

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